A profundidade de um barranco (usando as barras transversais daqui a frente)
O tamanho de uma cidade vista de uma montanha.
A informação de Liu Hui sobre topografia também era conhecida pelos seus contemporâneos. O cartógrafo e ministro de estado Pei Xiu (224-271) delineou os avanços da cartografia, levantamento e matemática até o momento. Isso incluiu o primeiro uso de uma grade retangular e escala graduada para medição precisa de distâncias em mapas de terreno representativos. Liu Hui forneceu comentários sobre os problemas do Nove Capítulo envolvendo a construção de diques do canal e do rio, dando resultados pela quantidade total de materiais utilizados, a quantidade de mão-de-obra necessária, o tempo necessário para a construção, etc.
Embora traduzido para o inglês de antemão, o trabalho de Liu foi traduzido para o francês por Guo Shuchun, professor da Academia Chinesa de Ciências, que começou em 1985 e levou vinte anos para completar sua tradução.
O período dos Três Reinos, foi uma guerra de quase constante e
intrigas políticas. No entanto, este período fascinante é agora
considerado o mais romântico de toda a história chinesa. Qual a
influência dos acontecimentos do período em que Liu Hui é desconhecido,
pois nada se sabe sobre sua vida, exceto que ele escreveu duas obras.
Um deles foi um comentário muito importante sobre o suanshu Jiuzhang ou, como é mais comumente chamada Nove Capítulos da Arte Matemática, e os outros era uma obra muito mais curta chamado haidao suanjing ou Sea Island matemáticas Manual.
Que nenhum registro da vida Liu Hui foi escrito , ou pelo menos se foi,
não foi considerado digno de preservação, não significa que ele estava
particularmente obscura durante sua vida. Embora a matemática foi um
tema importante na China, não obstante ser um matemático parece ter sido
considerada uma ocupação de menor importância. Consequentemente,
muitos chineses trabalhos matemáticos são anônimas.
A única informação precisa sobre Liu Hui provém de um trabalho
posterior, o que indica que ele escreveu seu comentário sobre o Nove
Capítulos da Arte Matemática, no quarto ano da era do reinado do
Príncipe Jingyuan Chenliu do Wei, que dá uma data de 263 AD. Ele não
tinha data de seu comentário, no entanto, por isso mesmo este fato "não
está confirmado. Uma das informações que ele nos dá sobre a sua vida no
prefácio do livro é:
Eu li a nove capítulos e um menino, e ele estudou em detalhes quando eu era mais velha.
O que era exatamente é o texto que Liu Hui está comentando? Era um
manual prático de matemática por objetivo fornecer métodos que serão
utilizados para resolver problemas cotidianos da engenharia, topografia,
comércio e tributação. Quantos anos tinha o texto original? Esta é
uma pergunta difícil que os historiadores não encontraram nenhuma
resposta definitiva. Liu Hui Acredita-se que o texto que ele estava a
comentar foi originalmente escrito por volta de 1000 aC, mas
incorporando muito material de épocas posteriores. Ele escreve no
prefácio:
No passado, o tirano Qin queimou documentos escritos, o que levou à destruição do conhecimento clássico. Posteriormente,
Zhang Cang, Marquês de Peiping e Shouchang Geng, Vice-Presidente do
Ministério da Agricultura, ambos se tornaram famosos através de seu
talento para o cálculo. Porque os textos antigos, havia se
deteriorado, Zhang Cang e sua equipe produziram uma nova versão
removendo as partes pobres e preenchendo as partes perdidas. Assim, eles revisto algumas partes, com o resultado que estes eram diferentes das peças velhas ...
Vamos dar algumas datas para os eventos de Liu Hui descreve. A
dinastia Qin precedida da dinastia Han, e foi o governante Qin Shih
Huang Ti, que tentou a reforma da educação, destruindo todas as
anteriores de aprendizagem. Ele ordenou que todos os livros a serem
queimados em 213 aC e Cang Zhang, Liu Hui, que se refere, fez a sua
reconstrução de cerca de 170 aC A maioria dos historiadores, no entanto,
não acreditaria que o texto original dos capítulos dos Nove foi quase
tão velho como Liu Hui acreditava . Discutimos questões como no artigo
sobre Os Nove Capítulos da Arte Matemática Na verdade a maioria dos
historiadores pensa que Liu Hui era completamente errado no que ele
escreveu, pois é agora que o texto nasceu por volta de 200 aC, após a
queima dos livros pelos Shih Huang Ti.
Vamos
examinar as contribuições para a matemática que Liu Hui feita por
escrito suas explicações. Em primeiro lugar devemos notar que ele
introduziu uma abordagem diferente da matemática de que o texto em que
ele estava comentando. O texto original dava métodos para resolver
vários problemas, mas os métodos eram apenas recomendações sem
justificação. O que Liu Hui foi acrescentado de uma abordagem mais
matemática no fornecimento de, pelo menos, os princípios sobre os quais
se baseiam os cálculos. Seus métodos não são exatamente "provas" em
nossa compreensão de uma prova de matemática hoje. Eles são mais do
tipo de explicação breve que irá dar um matemático para convencê-lo que,
se você quisesse você poderia construir uma prova. Liu Hui também
mostra que ele entende que alguns dos métodos do texto original são
aproximações, e ele investiga a precisão das estimativas. Há também
evidências de que ele está começando a compreender conceitos
relacionados com os primeiros trabalhos sobre o cálculo diferencial e
integral.
Como um exemplo olhemos para a
contribuição Liu Hui feito para encontrar uma boa aproximação. Isso
aparece no primeiro capítulo dos Capítulos dos Nove. Ele encontrou uma
relação de recorrência para expressar o comprimento do lado de um
polígono regular com 3 2 n lados, em termos de comprimento do lado de um polígono regular com 3 2 n -1 lados. Isto é conseguido com um pedido de Pitágoras Teorema, que Liu Hui sabia como o teorema Gougu.
No diagrama temos um círculo de raio r com centro em O. Sabemos AB, é p n -1, o comprimento do lado de um polígono regular com 3 2 n -1 lados, assim AY tem comprimento n p -1 / 2. Assim OY tem comprimento
√ r (2 - (p n -1 / 2) 2).
Então YX tem comprimento r - √ [r 2 - (p n -1 / 2) 2].
Mas agora sabemos AY e YX para que possamos calcular AX usando o teorema Gougu (Pitágoras), a ser
√ (r [r + 1 - √ (4 r - p n -1 2)]).
Então n p = AX é o comprimento de um lado de um polígono regular com 3 2 n lados.
Colocando r = 1, e tendo n = 6 dá um hexágono regular de lado p 6 = 1. Então, o perímetro do hexágono é de 6 p 6 = 6 dando um valor aproximado de π, 6p 6
/ 2 = 3 (assumindo que a circunferência do círculo é aproximadamente o
perímetro do hexágono e usando π = circunferência / diâmetro).
Em geral, podemos obter um valor aproximado de π como n np / 2. Os maiores valores de n dar valores mais precisos de π. Liu Hui usou a aproximação 3,14 que ele obteve, tendo n
= 96, em outras palavras através de um polígono regular de 96 lados.
Ele não tinha, como Arquimedes, encontra limites, usando um inscrito,
bem como um círculo circunscrito.
Processo iteramos Liu Hui, utilizando um programa de álgebra moderna de computador para obter:
n = 6, p n = 1, n np / 2 = 3
n = 12, n, p = 0,5176380900, n np / 2 = 3,105828540
n = 24, n, p = 0,2610523842, n np / 2 = 3,132628610
n = 48, n, p = 0,1308062584, n np / 2 = 3,139350202
n = 96, n, p = 0,06543816562, n np / 2 = 3,141031950
n = 192, p n = 0,03272346325, n np / 2 = 3,141452472
n = 384, p n = 0,01636227920, n np / 2 = 3,141557606
n = 768, p n = 0,008181208047, n np / 2 = 3,141583890
n = 1536, p n = ,004090612582, n np / 2 = 3,141590463
n = 3072, p n = 0,002045307359, n np / 2 = 3,141592104
n = 6144, p n = 0,001022653813, n np / 2 = 3,141592514
Na verdade Liu Hui deixou um pequeno passo do nosso cálculo do computador, pois ele também obteve a melhor aproximação de n = 3072, ou seja 3,14159. Assim como o valor aproximado com base em uma aproximação para π, Liu foi capaz de mostrar que:
... multiplicando-se a metade do diâmetro e metade da circunferência, obtém-se a área.
Devemos salientar que, naturalmente, Liu Hui não usar a notação
algébrica como já fizemos anteriormente, nem que ele use o sistema de
número que temos usado. No entanto, o procedimento que ele apresentado
mostra que ele entendeu o processo iterativo que nós descrevemos. Ele
compreendeu também a noção de limite.
Outros
exemplos interessantes de contribuições Liu Hui para o Nove Capítulos da
Arte Matemática é no capítulo 5, em obras de engenharia, onde se
calcula o volume de sólidos, tais como um prisma, pirâmide, tetraedro,
cunha, cilindro, cone e tronco de um cone . Ele falha, entretanto, para
encontrar o volume de uma esfera que ele diz que deixa para um futuro
matemático para calcular. No capítulo 8 ele olha para equações lineares
e calcula com números positivos e negativos.
O outro trabalho que já mencionamos acima, Liu Hui é haidao suanjing ou Sea Island matemáticas Manual.
Essa é uma pequena obra, composta de nove problemas e ele foi
originalmente escrito como parte de seu comentário sobre o capítulo nove
dos capítulos dos Nove, mas, depois, removido e feito em um trabalho
separado por editores posteriores. Ela mostra como usar o teorema Gougu
(teorema de Pitágoras) para calcular a altura de objetos e distâncias
de objetos que não podem ser medidos diretamente. O primeiro problema, o
que ilustra o estilo, diz respeito à altura e distância para uma ilha
no mar. Ele dá seu nome ao livro.
P 1 e P 2 são pólos de 5 de altura e 1,000 pu pu distante. Quando visto de X ao nível do solo, 123 pu atrás de P 1, a cúpula S da ilha está em linha com o topo da P 1. Da mesma forma quando vistos de Y ao nível do solo, 127 pu atrás de P 2, no topo da ilha está em linha com o topo de P 2. Calcule a altura da ilha e da sua distância P 1.
[Nota: 1 pu é de cerca de 2 metros.]
Suponha que os pólos são de altura h e da distância entre os pólos é d. Liu Hui dá a altura da ilha, H, D / (P 2 Y - P 1 X) + h, a distância a que ele seja P 1 x D / (Y P 2 - P 1 X).
Ele então dá: a altura da ilha: 1.255 pu; distância de P 1 para a ilha: 30.750 pu.
Outros problemas neste trabalho são a altura de uma árvore do lado de
uma montanha, a distância para uma praça da cidade, a profundidade de um
desfiladeiro, a altura de uma torre em uma colina, a largura de um rio,
a profundidade de um vale com um lago no fundo, a largura de um ford
visto de uma colina, e do tamanho de uma cidade vista de uma montanha.
Como não temos informações sobre a vida de Liu Hui, podemos pelo menos
deduzir algumas informações sobre ele em seu trabalho? Em primeiro
lugar, podemos ver que ele é um matemático notável, com uma profunda
compreensão de conceitos difíceis. Ele também é muito original, vindo
acima com idéias que o colocam entre os maiores matemáticos de todos os
tempos. Mas podemos deduzir mais: como os autores escrevem:
Liu As técnicas empregadas são típicos de um professor de habilidade, paciência e zelo incansável.
Liu Hui era um homem culto, não só a ter grandes conhecimentos de
matemática, mas também estar familiarizado com os clássicos literários e
históricos da China. Ele podia escrever com clareza e com estilo,
citando uma variedade de fontes.
Nós também
podemos ver que ele era um homem modesto que nunca reivindicou
resultados de que ele não estava totalmente confiante, preferindo
escrever:
Vamos deixar o problema para quem for capaz de dizer a verdade.
Ele também se mostra como alguém que se preocupava com as condições
das pessoas e também sobre a economia do país. Isso sugere que ele pode
ter mantido um alto cargo na administração de seu país, e se ele assim o
fez, em seguida, seus comentários nos querem fazer crer que ele era
muito justo em suas políticas.